Вопрос 10 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Пусть $$a$$ — данная прямая и $$A$$ — точка на ней. Обозначим через $$a_1$$ одну из полупрямых прямой $$a$$ с началом в точке $$A$$.

Отложим от полупрямой $$a_1$$ в одной из полуплоскостей угол $$\angle(a_1b_1)=90^\circ$$. Тогда прямая, содержащая луч $$b_1$$, перпендикулярна прямой $$a$$.

Докажем, что такая прямая единственна. Предположим, что через точку $$A$$ проходит ещё одна прямая, перпендикулярная прямой $$a$$. Обозначим через $$c_1$$ полупрямую этой прямой, лежащую в той же полуплоскости, что и луч $$b_1$$.

Тогда углы $$\angle(a_1b_1)$$ и $$\angle(a_1c_1)$$ равны $$90^\circ$$ и отложены в одну и ту же полуплоскость от полупрямой $$a_1$$. Но в данной полуплоскости от полупрямой $$a_1$$ можно отложить только один угол, равный $$90^\circ$$. Значит, лучи $$b_1$$ и $$c_1$$ совпадают, а следовательно, совпадают и соответствующие прямые.

Итак, через любую точку прямой можно провести к ней перпендикулярную прямую, и притом только одну.