Упр.15.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ попарно перпендикулярны. Найдите отрезок $$CD$$, если:
   
   1) $$AB=3\ \text{см}$$, $$BC=7\ \text{см}$$, $$AD=1{,}5\ \text{см}$$;
   
   2) $$BD=9\ \text{см}$$, $$BC=16\ \text{см}$$, $$AD=5\ \text{см}$$;
   
   3) $$AB=b$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$;
   
   4) $$BD=c$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$.

Так как прямые $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ попарно перпендикулярны, то треугольники $$ABC$$, $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные с прямым углом при $$A$$.

По теореме Пифагора:

$$BC^2=AB^2+AC^2,$$

$$BD^2=AB^2+AD^2,$$

$$CD^2=AC^2+AD^2.$$

1. Если $$AB=3$$ см, $$BC=7$$ см, $$AD=1{,}5$$ см, то

   $$AC^2=BC^2-AB^2=7^2-3^2=49-9=40,$$

   $$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{40+1{,}5^2}=\sqrt{40+2{,}25}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\text{ см}.$$

2. Если $$BD=9$$ см, $$BC=16$$ см, $$AD=5$$ см, то

   $$AB^2=BD^2-AD^2=9^2-5^2=81-25=56,$$

   $$AC^2=BC^2-AB^2=16^2-56=256-56=200,$$

   $$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{200+5^2}=\sqrt{200+25}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$

3. Если $$AB=b$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$, то

   $$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-b^2,$$

   $$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-b^2+d^2}.$$

4. Если $$BD=c$$, $$BC=a$$, $$AD=d$$, то

   $$AB^2=BD^2-AD^2=c^2-d^2,$$

   $$AC^2=BC^2-AB^2=a^2-(c^2-d^2)=a^2-c^2+d^2,$$

   $$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{a^2-c^2+d^2+d^2}=\sqrt{a^2-c^2+2d^2}.$$

Ответ: 1) $$6{,}5$$ см; 2) $$15$$ см; 3) $$\sqrt{a^2-b^2+d^2}$$; 4) $$\sqrt{a^2-c^2+2d^2}$$.