Упр.14.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — данный квадрат. Так как периметры фигур равны, то равны и их стороны. Обозначим общую длину стороны через $$a$$:

$$AB=AD=A_1D_1=a.$$

Из вершины $$B$$ опустим высоту $$BH$$ на сторону $$AD$$ ромба. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHB$$ гипотенуза $$AB=a$$, а катет $$BH$$ меньше гипотенузы, значит

$$BH<a.$$

Найдём площади фигур:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=a\cdot BH,$$

$$S_{A_1B_1C_1D_1}=a^2.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=\frac{a\cdot BH}{a^2}=\frac{BH}{a}<1.$$

Следовательно, площадь ромба меньше площади квадрата.

Ответ: квадрат.