Вопрос 10 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: через любую точку прямой можно провести перпендику-
лярную ей прямую и только одну;
Доказательство:
1) Пусть a-данная прямая и A-данная точка на ней;
2) Обозначим через a1 одну из полупрямых прямой a с начальной
точкой A;
3) Отложим от полупрямой a1 угол (a1 b1), равный 90°, тогда прямая,
содержащая луч b1, будет перпендикулярна прямой a;
4) Допустим, что существует другая прямая.проходящая через точку
A и перпендикулярная прямой a;
5) Обозначим через c1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной
полуплоскости с лучом b1;
6) Углы (a1 b1) и (a1 c1), равные 90° отложены в одну полуплоскость
от полупрямой a1, Но от полупрямой a1 в данную полуплоскость
можно провести только один угол, равный 90°;
7) Следовательно наше предположение неверно и через точку A
можно провести только одну прямую перпендикулярную данной,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка на ней.

Обозначим через $$a_1$$ одну из полупрямых прямой $$a$$ с началом в точке $$A$$. Отложим от полупрямой $$a_1$$ в одной из полуплоскостей угол $$\angle a_1b_1=90^\circ$$. Тогда прямая, содержащая луч $$b_1$$, перпендикулярна прямой $$a$$.

Докажем, что такая прямая единственна. Предположим, что через точку $$A$$ проходит ещё одна прямая, перпендикулярная прямой $$a$$. Обозначим её лучом $$c_1$$, лежащим в той же полуплоскости, что и $$b_1$$.

Тогда углы $$\angle a_1b_1$$ и $$\angle a_1c_1$$ равны $$90^\circ$$ и отложены от полупрямой $$a_1$$ в одну и ту же полуплоскость. Но в данной полуплоскости от полупрямой $$a_1$$ можно отложить только один угол, равный $$90^\circ$$. Значит, лучи $$b_1$$ и $$c_1$$ совпадают, а следовательно, совпадают и соответствующие прямые.

Итак, через любую точку прямой можно провести к ней перпендикулярную прямую, и притом только одну.