Вопрос 10 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного $$n$$-угольника.
Пусть $$AB=a$$ — сторона правильного $$n$$-угольника, а $$\beta$$ — половина его центрального угла. Проведём биссектрисы углов при вершинах $$A$$ и $$B$$; они пересекутся в точке $$O$$ — центре многоугольника.
Тогда $$\angle AOB$$ — центральный угол правильного $$n$$-угольника, значит
$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$
Проведём высоту $$OC$$ треугольника $$AOB$$. В равнобедренном треугольнике она является также медианой и биссектрисой, поэтому
$$CB=\frac{a}{2}, \qquad \beta=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{180^\circ}{n}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCB$$.
Для радиуса описанной окружности $$R=OB$$ имеем
$$\sin\beta=\frac{CB}{OB}, \qquad R=OB=\frac{CB}{\sin\beta}=\frac{a}{2\sin\beta}.$$
Подставляя $$\beta=\frac{180^\circ}{n}$$, получаем
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Для радиуса вписанной окружности $$r=OC$$ имеем
$$\tg\beta=\frac{CB}{OC}, \qquad r=OC=\frac{CB}{\tg\beta}=\frac{a}{2\tg\beta}.$$
Следовательно,
$$r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$
Ответ
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$
