Вопрос 10 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ два угла не острые, то есть каждый из них прямой или тупой. Тогда

$$\angle A \ge 90^\circ,\qquad \angle B \ge 90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A+\angle B \ge 180^\circ.$$

Но сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)\le 0^\circ,$$

что невозможно, так как угол треугольника должен быть положительным.

Значит, в треугольнике не могут быть два прямых или тупых угла. Следовательно, у любого треугольника по крайней мере два угла острые.