Упр.11.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — равнобедренные треугольники, причём $$\angle C=\angle C_1$$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит

$$\angle A=\angle B,\qquad \angle A_1=\angle B_1.$$

По теореме о сумме углов треугольника имеем:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1=180^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle B$$ и $$\angle A_1=\angle B_1$$, то

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-\angle C}{2},$$

$$\angle A_1=\angle B_1=\frac{180^\circ-\angle C_1}{2}.$$

Но $$\angle C=\angle C_1$$, следовательно,

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Итак, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны два угла, значит, они подобны по признаку подобия треугольников по двум углам.