Вопрос 10 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$, где $$D\in AB$$.

Тогда $$BD$$ — проекция катета $$BC$$ на гипотенузу $$AB$$, а $$AD$$ — проекция катета $$AC$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CBD$$. Они подобны по двум углам: $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle CDB=90^\circ$$, а угол $$B$$ у них общий. Поэтому

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}.$$

Отсюда

$$BC^2=AB\cdot BD,$$

значит,

$$BC=\sqrt{AB\cdot BD}.$$

Аналогично, треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ подобны, поэтому

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD},$$

откуда

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

то есть

$$AC=\sqrt{AB\cdot AD}.$$

Следовательно, каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.