Вопрос 10 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$. Проведём высоту $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$, где $$D\in AB$$.

Тогда $$BD$$ — проекция катета $$BC$$ на гипотенузу $$AB$$, а $$AD$$ — проекция катета $$AC$$ на гипотенузу $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$CDB$$. Они подобны по двум углам: $$\angle ACB=\angle CDB=90^\circ$$, а $$\angle ABC=\angle CBD$$. Поэтому

$$ \frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD} $$

Отсюда

$$ BC^2=AB\cdot BD, $$

значит,

$$ BC=\sqrt{AB\cdot BD}. $$

Аналогично, треугольники $$ACB$$ и $$ADC$$ подобны, так как $$\angle ACB=\angle ADC=90^\circ$$ и $$\angle BAC=\angle CAD$$. Тогда

$$ \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD} $$

следовательно,