Упр.9.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: две пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых;
Построить: отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной
точке;
Построение:
1) Пусть даны прямые OB и OC, пересекающиеся в точке O и точка A,
не лежащая на этих прямых.
2) Отметим точку O’, симметричную O относительно точки A, для чего:
Из точки A проведем окружность радиуса OA и отметим точку O’ на
пересечении этой окружности и прямой OA;
3) Аналогично отметим: точку B’ симметричную точке B и точку
C’ симметричную точке C;
4) Проведем прямые O’ B’ и O’ C’ они параллельны прямым OB и OC
соответственно;
5) Отметим точку E на пересечении прямых OC и OB’ и точку F на
пересечении прямых OB и OC’;
6) OEO’ F-параллелограмм (по определению), точка A-середина его
диагонали OO’, значит точка A-середина и диагонали EF;
7) Отрезок EF-искомый.

Подробный ответ

Пусть даны пересекающиеся прямые $$OB$$ и $$OC$$, пересекающиеся в точке $$O$$, и точка $$A$$, не лежащая на этих прямых.

Построим точку $$O’$$, симметричную точке $$O$$ относительно точки $$A$$. Для этого проведём прямую $$OA$$ и отметим на ней точку $$O’$$ так, чтобы $$AO’=AO$$.

Аналогично построим точки $$B’$$ и $$C’$$, симметричные соответственно точкам $$B$$ и $$C$$ относительно точки $$A$$.

Тогда прямые $$O’B’$$ и $$O’C’$$ параллельны соответственно прямым $$OB$$ и $$OC$$.

Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямых $$OC$$ и $$OB’$$, а через $$F$$ — точку пересечения прямых $$OB$$ и $$OC’$$.

Четырёхугольник $$OEO’F$$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, точка $$A$$ — середина диагонали $$OO’$$ этого параллелограмма. Тогда точка $$A$$ является и серединой второй диагонали $$EF$$.

Значит, отрезок $$EF$$ имеет концы на данных прямых и его середина — точка $$A$$.