Упр.4.10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$E$$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $$ACE$$ и $$BDE$$.

Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$E$$ и делятся этой точкой пополам, то $$AE=EB$$ и $$CE=ED$$. Кроме того, $$\angle CEA=\angle BED$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle ACE=\triangle BDE$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle ACE=\angle BDE.$$

Углы $$ACE$$ и $$BDE$$ — внутренние накрест лежащие при прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$CD$$. Значит, $$AC \parallel BD$$.