Вопрос 1 Параграф 3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите первый признак равенства треугольников.
- Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:
$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.$$
Докажем, что $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
Отложим на луче $$A_1B_1$$ от точки $$A_1$$ отрезок $$A_1B_2=A_1B_1$$, а в той же полуплоскости относительно прямой $$A_1B_1$$, где лежит точка $$C_1$$, отложим угол, равный $$\angle A$$, и на его стороне отложим отрезок $$A_1C_2=AC$$. Тогда получим треугольник $$A_1B_2C_2$$, равный треугольнику $$ABC$$ по построению.
Так как $$A_1B_2=A_1B_1$$ и точки $$B_1$$, $$B_2$$ лежат на одном луче $$A_1B_1$$, то $$B_2$$ совпадает с $$B_1$$. Кроме того, $$A_1C_2=A_1C_1$$ и $$\angle B_1A_1C_1=\angle B_2A_1C_2$$, значит луч $$A_1C_2$$ совпадает с лучом $$A_1C_1$$. Следовательно, $$C_2$$ совпадает с $$C_1$$.
Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ совпадает с треугольником $$A_1B_2C_2$$, а значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$. Первый признак равенства треугольников доказан.
Для доказательства использованы аксиомы:
- аксиома откладывания отрезков на луче от его начальной точки;
- аксиома откладывания углов от луча в заданной полуплоскости.
