Упр.14.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 310).

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, где $$BC=a$$ и $$AC=b$$ — катеты, а $$AB=c$$ — гипотенуза.

Построим квадраты на всех трёх сторонах треугольника. Тогда площади этих квадратов равны:

$$S_a=a^2,\quad S_b=b^2,\quad S_c=c^2.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABC$$ имеем:

$$c^2=a^2+b^2.$$

Следовательно,

$$S_c=S_a+S_b.$$

Значит, сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.