Упр.13.1 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны две окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$, расстояние между центрами которых $$d>R_1+R_2$$. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей?

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, причём $$O_1O_2=d$$ и $$d>R_1+R_2$$.

Возьмём произвольные точки $$X$$ и $$Y$$ на этих окружностях. Тогда

$$O_1X=R_1,\qquad O_2Y=R_2.$$

Рассмотрим ломаную $$O_1XYO_2$$. По неравенству треугольника длина отрезка между концами ломаной не превосходит её длины:

$$O_1O_2\le O_1X+XY+YO_2.$$

Подставляя известные значения, получаем

$$d\le R_1+XY+R_2,$$
$$XY\ge d-R_1-R_2.$$

Значит, наименьшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ равно $$d-R_1-R_2$$.

Теперь рассмотрим ломаную $$XO_1O_2Y$$. Тогда

$$XY\le XO_1+O_1O_2+O_2Y.$$

Следовательно,