Вопрос 1 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 1. Докажите теорему косинусов.

Пусть дан треугольник $$ABC$$. Докажем, что

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

По правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},$$

откуда

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$$

Возведём это равенство в квадрат:

$$BC^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2.$$

Раскроем скобки:

$$BC^2=AC^2+AB^2-2(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}).$$

Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Подставляя, получаем:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Это и есть теорема косинусов.

Ответ

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$