Проверьте себя №1 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Задание № 1. Тестовая форма «Проверьте себя»
Каким из представленных способов можно обозначить четырёхугольник, изображённый на рисунке 111?
А) $$MPQN$$; В) $$NPMQ$$; Б) $$QMNP$$; Г) $$QNPM$$.
Какие углы могут быть в четырёхугольнике?
А) четыре тупых угла; Б) четыре острых угла; В) два тупых и два прямых угла; Г) два прямых угла, один острый угол и один тупой угол.
В четырёхугольнике каждая сторона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырёхугольника?
А) $$60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$$; В) $$90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ$$; Б) $$60^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 90^\circ$$; Г) $$150^\circ, 30^\circ, 150^\circ, 30^\circ$$.
Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен $$30\text{ см}$$?
А) $$5\text{ см}, 10\text{ см}$$; В) $$7\text{ см}, 8\text{ см}$$; Б) $$6\text{ см}, 4\text{ см}$$; Г) $$3\text{ см}, 12\text{ см}$$.
Четырёхугольник является параллелограммом, если
А) у него имеются две пары равных сторон; Б) у него имеются две пары равных углов; В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника; Г) у него три стороны равны.
Какое из данных утверждений неверно?
А) четырёхугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — квадрат; Б) параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендикулярны, — квадрат; В) параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны, — квадрат; Г) ромб, у которого диагонали равны, — квадрат.
В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат соответственно сторонам $$AB$$ и $$BC$$. Отрезок $$MN$$ является средней линией, если
А) $$MN$$ параллельна $$AC$$; В) $$MN=\frac{1}{2}AC$$, угол $$BNM$$ равен углу $$BAC$$; Б) $$MN=\frac{1}{2}AC$$; Г) $$MN=\frac{1}{2}AC$$, угол $$BNM$$ равен углу $$BCA$$.
Какое из приведённых свойств не может иметь трапеция?
А) противолежащие углы равны; Б) диагонали равны и перпендикулярны; В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании; Г) средняя линия трапеции равна её высоте.
Вписанные углы одной окружности равны, если они
А) опираются на одну хорду; Б) имеют общую вершину; В) опираются на одну дугу; Г) имеют общую сторону.
Около четырёхугольника $$CDEF$$ описана окружность, угол $$CDF=80^\circ$$, угол $$DEC=30^\circ$$. Чему равен угол $$DCF$$?
А) $$50^\circ$$; Б) $$110^\circ$$; В) $$70^\circ$$; Г) $$90^\circ$$.
1) Вершины четырёхугольника должны идти подряд по его границе. Для рисунка 111 это порядок $$QMNP$$.
2) Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Если два угла прямые, один острый и один тупой, то это возможно.
3) Пусть диагональ равна стороне четырёхугольника. Тогда в получившемся треугольнике все стороны равны, значит, он равносторонний, и его углы равны $$60^\circ$$. Смежные с ними углы четырёхугольника равны $$120^\circ$$. Следовательно, углы четырёхугольника: $$60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$$.
4) Биссектриса угла параллелограмма, делящая сторону пополам, образует равнобедренный треугольник, откуда $$AB=BM$$. Тогда $$BC=2AB$$. По периметру:
$$P=2(AB+BC)=30$$
$$AB+BC=15$$
$$AB+2AB=15$$
$$3AB=15,\quad AB=5,\quad BC=10$$
5) Если каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника, то обе пары противоположных сторон равны, значит, это параллелограмм.
6) Неверно утверждение о том, что любой ромб с равными диагоналями — квадрат: равные диагонали не являются признаком квадрата для ромба.
7) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, нужно условие $$MN=\frac12 AC$$ и $$MN\parallel AC$$.
8) У трапеции не могут быть равны противолежащие углы, так как углы при одной боковой стороне в сумме дают $$180^\circ$$.
9) Вписанные углы одной окружности равны, если они опираются на одну и ту же дугу.
10) Так как четырёхугольник $$CDEF$$ вписан в окружность, то вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $$CF$$, равны:
$$\angle CDF=\angle CEF=80^\circ$$
Тогда в четырёхугольнике $$CDEF$$:
$$\angle DEF=\angle CEF+\angle DEC=80^\circ+30^\circ=110^\circ$$
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $$180^\circ$$, значит:
$$\angle DCF=180^\circ-110^\circ=70^\circ$$
Ответ
1) $$\text{Б}$$; 2) $$\text{Г}$$; 3) $$\text{А}$$; 4) $$\text{А}$$; 5) $$\text{В}$$; 6) $$\text{Г}$$; 7) $$\text{Г}$$; 8) $$\text{А}$$; 9) $$\text{В}$$; 10) $$70^\circ$$.
