Проверьте себя №1 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
1. Каким из представленных способов можно обозначить четырёхугольник, изображённый на рисунке 111?
A) MPQN; В) NPMQ;
Б) QMNP; Г) QNPM;
2. Какие углы могут быть в четырёхугольнике?
А) четыре тупых угла;
Б) четыре острых угла;
В) два тупых и два прямых угла;
Г) два прямых угла, один острый угол и один тупой угол;
3. В четырёхугольнике каждая сторона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырёхугольника?
А) 60°, 60°, 120°, 120°; В) 90°, 90°, 90°, 90°;
Б) 60°, 120°, 90°, 900; Г) 150°, 30°, 150°, 30°;
4. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см?
А) 5 см, 10 см; В) 7 см, 8 см;
Б) 6 см, 4 см; Г) 3 см, 12 см;
5. Четырёхугольник является параллелограммом, если
А) у него имеются две пары равных сторон;
Б) у него имеются две пары равных углов;
В) каждая диагональ делит его на два равных треугольника;
Г) у него три стороны равны;
6. Какое из данных утверждений неверно?
А) четырёхугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — квадрат;
Б) параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендикулярны, — квадрат;
В) параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны, — квадрат;
Г) ромб, у которого диагонали равны, — квадрат;
7. В треугольнике АВС точки М и N принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. Отрезок MN является средней линией, если
A) MN параллельна AC; В) MN = 1/2 AC, угол BNM = углу BAC;
Б) MN = 1/2 AC; Г) MN = 1/2 AC, угол BNM = углу BCA;
8. Какое из приведённых свойств не может иметь трапеция?
А) противолежащие углы равны;
Б) диагонали равны и перпендикулярны;
В) один из углов при большем основании больше одного из углов при меньшем основании;
Г) средняя линия трапеции равна её высоте;
9. Вписанные углы одной окружности равны, если они
А) опираются на одну хорду;
Б) имеют общую вершину;
В) опираются на одну дугу;
Г) имеют общую сторону;
10. Около четырёхугольника CDEF описана окружность, угол CDF = 80°, угол DEC = 30°. Чему равен угол DCF?
А) 50°; Б) 110°; В) 70°; Г) 90°;
1) Вершины четырёхугольника должны идти подряд по его границе. Для рисунка 111 это порядок $$QMNP$$.
2) Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Если два угла прямые, один острый и один тупой, то это возможно.
3) Пусть диагональ равна стороне четырёхугольника. Тогда в получившемся треугольнике все стороны равны, значит, он равносторонний, и его углы равны $$60^\circ$$. Смежные с ними углы четырёхугольника равны $$120^\circ$$. Следовательно, углы четырёхугольника: $$60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$$.
4) Биссектриса угла параллелограмма, делящая сторону пополам, образует равнобедренный треугольник, откуда $$AB=BM$$. Тогда $$BC=2AB$$. По периметру:
$$ P=2(AB+BC)=30 $$
$$ AB+BC=15 $$
$$ AB+2AB=15 $$
$$ 3AB=15,\quad AB=5,\quad BC=10 $$
5) Если каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника, то обе пары противоположных сторон равны, значит, это параллелограмм.
6) Неверно утверждение о том, что любой ромб с равными диагоналями — квадрат: равные диагонали не являются признаком квадрата для ромба.
7) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, нужно условие $$MN=\frac12 AC$$ и $$MN\parallel AC$$.
8) У трапеции не могут быть равны противолежащие углы, так как углы при одной боковой стороне в сумме дают $$180^\circ$$.
9) Вписанные углы одной окружности равны, если они опираются на одну и ту же дугу.
10) Так как четырёхугольник $$CDEF$$ вписан в окружность, то вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $$CF$$, равны:
$$ \angle CDF=\angle CEF=80^\circ $$
Тогда в четырёхугольнике $$CDEF$$:
$$ \angle DEF=\angle CEF+\angle DEC=80^\circ+30^\circ=110^\circ $$
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $$180^\circ$$, значит:
$$ \angle DCF=180^\circ-110^\circ=70^\circ $$
Ответ
1) $$\text{Б}$$; 2) $$\text{Г}$$; 3) $$\text{А}$$; 4) $$\text{А}$$; 5) $$\text{В}$$; 6) $$\text{Г}$$; 7) $$\text{Г}$$; 8) $$\text{А}$$; 9) $$\text{В}$$; 10) $$70^\circ$$.