Проверьте себя №4 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Сколько сторон в выпуклом $$n$$-угольнике, если сумма его углов равна $$1260^\circ$$?
А) 7; Б) 9; В) 11; Г) 13. - В выпуклом $$n$$-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов?
А) $$1000^\circ$$; Б) $$800^\circ$$; В) $$900^\circ$$; Г) $$720^\circ$$. - Как изменится площадь прямоугольника, если каждую из его сторон уменьшить в 10 раз?
А) уменьшится в 100 раз; Б) уменьшится в 20 раз; В) уменьшится в 10 раз; Г) уменьшится в 1000 раз. - Площадь параллелограмма равна $$80\ \text{см}^2$$, а одна из его сторон — $$16\ \text{см}$$. Какой длины может быть другая сторона параллелограмма?
А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см. - На стороне $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$ так, что $$BM:MC=1:3$$. Чему равна площадь треугольника $$ABM$$, если площадь параллелограмма равна $$S$$?
А) $$\frac{S}{8}$$; Б) $$\frac{S}{4}$$; В) $$\frac{S}{16}$$; Г) $$\frac{S}{2}$$. - На рисунке 236 площадь каждого из маленьких квадратов равна $$4\ \text{см}^2$$. Чему равна площадь большого квадрата?
А) $$16\ \text{см}^2$$; Б) $$20\ \text{см}^2$$; В) $$32\ \text{см}^2$$; Г) $$40\ \text{см}^2$$. - В окружность радиуса $$1\ \text{см}$$ вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?
А) $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$; Б) $$3\sqrt{3}$$; В) $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$; Г) $$\frac{3\sqrt{3}}{8}$$. - Точки $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры равных касающихся окружностей (рис. 237), $$BO_2$$ перпендикулярна $$O_1O_2$$, $$AB=10\ \text{см}$$. Чему равна площадь треугольника $$ABO_2$$?
А) $$10\ \text{см}^2$$; Б) $$15\ \text{см}^2$$; В) $$18\ \text{см}^2$$; Г) $$20\ \text{см}^2$$. - Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Геометрическим местом точек $$X$$ таких, что площади треугольников $$AXB$$ равны данному числу $$S$$, является
А) окружность с диаметром $$AB$$;
Б) серединный перпендикуляр отрезка $$AB$$;
В) прямая, параллельная $$AB$$;
Г) две прямые, параллельные $$AB$$. - Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят её среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если её большее основание равно $$12\ \text{см}$$?
А) $$50\ \text{см}^2$$; Б) $$64\ \text{см}^2$$; В) $$81\ \text{см}^2$$; Г) $$144\ \text{см}^2$$.
1) Сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$180^\circ(n-2)$$. Тогда
$$180^\circ(n-2)=1260^\circ,$$
$$n-2=7,\quad n=9.$$
Ответ: Б.
2) Число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника:
$$d=\frac{n(n-3)}{2}=14.$$
$$n(n-3)=28,$$
$$n^2-3n-28=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 28=121,$$
$$n=\frac{3+11}{2}=7.$$
Тогда сумма углов:
$$180^\circ(n-2)=180^\circ\cdot 5=900^\circ.$$
Ответ: В.
3) Если каждую сторону прямоугольника уменьшить в 10 раз, то площадь уменьшится в
$$10\cdot 10=100$$
раз.
Ответ: А.
4) Площадь параллелограмма:
$$S=ah_a,$$
где $$a=16$$ см, $$S=80$$ см$$^2$$. Тогда высота к этой стороне равна
$$h_a=\frac{S}{a}=\frac{80}{16}=5\text{ см}.$$
Другая сторона параллелограмма должна быть больше этой высоты, значит подходит только $$6$$ см.
Ответ: Г.
5) Пусть $$AH$$ — высота параллелограмма к стороне $$BC$$. Тогда
$$BM:MC=1:3,$$
значит
$$BC=BM+MC=BM+3BM=4BM.$$
Площадь параллелограмма:
$$S_{ABCD}=BC\cdot AH=4BM\cdot AH=S,$$
откуда
$$BM\cdot AH=\frac{S}{4}.$$
Площадь треугольника $$ABM$$:
$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\,BM\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot \frac{S}{4}=\frac{S}{8}.$$
Ответ: А.
6) Пусть $$a$$ — сторона маленького квадрата, $$b$$ — сторона большого квадрата. Тогда по рисунку
$$b^2=(3a)^2+a^2.$$
Так как площадь маленького квадрата равна $$4\text{ см}^2$$, то
$$a^2=4,\quad a=2.$$
Следовательно,
$$b^2=9a^2+a^2=10a^2=10\cdot 4=40.$$
Значит, площадь большого квадрата равна $$40\text{ см}^2$$.
Ответ: Г.
7) Пусть $$R=1$$ см — радиус окружности, $$a$$ — сторона квадрата, $$b$$ — сторона равностороннего треугольника. Для треугольника
$$h^2=b^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{3b^2}{4},\quad h=\frac{b\sqrt{3}}{2}.$$
Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность,
$$R=\frac{2}{3}h,$$
откуда
$$h=\frac{3R}{2},\quad b=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}.$$
Тогда площадь треугольника:
$$S_t=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot \frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$
Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ равна $$2R$$, значит
$$a\sqrt{2}=2R,\quad a=R\sqrt{2},$$
и
$$S_k=a^2=2R^2.$$
Следовательно,
$$\frac{S_t}{S_k}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{2R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.$$
Ответ: Г.
8) Центры равных касающихся окружностей и точки касания дают:
$$O_1A=O_1C=O_2C=O_2B=R,$$
поэтому
$$AO_2=O_1A+O_1C+O_2C=3R.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABO_2$$:
$$AB^2=(AO_2)^2+(BO_2)^2,$$
$$10^2=(3R)^2+R^2,$$
$$10R^2=100,\quad R^2=10,\quad R=\sqrt{10}.$$
Тогда
$$S_{ABO_2}=\frac{1}{2}\cdot AO_2\cdot BO_2=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=15\text{ см}^2.$$
Ответ: Б.
9) Для всех точек $$X$$ с одинаковой площадью треугольника $$AXB$$ высота к основанию $$AB$$ должна быть одинаковой. Значит, геометрическое место таких точек — две прямые, параллельные $$AB$$.
Ответ: Г.
10) Пусть $$BC=x$$. Так как диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят среднюю линию на три равные части, то
$$MN=\frac{1}{2}(AD+BC),$$
а из условия деления на три равные части получаем
$$MN=3ME.$$
В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, значит
$$ME=\frac{1}{2}BC.$$
Тогда
$$MN=3ME=\frac{3}{2}BC.$$
С другой стороны,
$$MN=\frac{1}{2}(12+BC).$$
Следовательно,
$$\frac{3}{2}BC=\frac{1}{2}(12+BC),$$
$$3BC=12+BC,$$
$$2BC=12,\quad BC=6.$$
Из прямоугольного треугольника с диагональю и высотой получаем
$$BH=9.$$
Тогда площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH=\frac{1}{2}(12+6)\cdot 9=81\text{ см}^2.$$
Ответ: В.
