Проверьте себя №4 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Сколько сторон в выпуклом n-угольнике, если сумма его углов равна 1260°?
А) 7; Б) 9; В) 11; Г) 13;
2. В выпуклом n-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов?
А) 1000°; Б) 800°; В) 900°; Г) 720°;
3. Как изменится площадь прямоугольника, если каждую из его сторон уменьшить в 10 раз?
А) уменьшится в 100 раз; В) уменьшится в 10 раз;
Б) уменьшится в 20 раз; Г) уменьшится в 1000 раз;
4. Площадь параллелограмма равна 80 см^2, а одна из его сторон — 16 см. Какой длины может быть другая сторона параллелограмма?
А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см;
5. На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена точка М так, что ВМ : МС = 1 : 3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна S?
А) S/8; Б) S/4; В) S/16; Г) S/2;
6. На рисунке 236 площадь каждого из маленьких квадратов равна 4 см^2. Чему равна площадь большого квадрата?
А) 16 см^2; В) 32 см^2;
Б) 20 см^2; Г) 40 см^2;
7. В окружность радиуса 1 см вписаны квадрат и равносторонний треугольник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?
А) 3v3/4; В) 3v3/2;
Б) 3v3; Г) 3v3/8;
8. Точки O1 и О2 — центры равных касающихся окружностей (рис. 237), BO2 перпендикулярна O1O2, AB = 10 см. Чему равна площадь треугольника ABO2?
А) 10 см^2; В) 18 см^2;
Б) 15 см^2; Г) 20 см^2;
9. Даны две точки А и В. Геометрическим местом точек X таких, что площади треугольников АХВ равны данному числу S, является
А) окружность с диаметром АВ;
Б) серединный перпендикуляр отрезка АВ;
В) прямая, параллельная АВ;
Г) две прямые, параллельные АВ;
10. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят её среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если её большее основание равно 12 см?
А) 50 см^2; Б) 64 см^2; В) 81 см^2; Г) 144 см^2;

1) Сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$180^\circ(n-2)$$. Тогда

$$180^\circ(n-2)=1260^\circ,$$

$$n-2=7,\quad n=9.$$

Ответ: Б.

2) Число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника:

$$d=\frac{n(n-3)}{2}=14.$$

$$n(n-3)=28,$$

$$n^2-3n-28=0,$$

$$D=3^2+4\cdot 28=121,$$

$$n=\frac{3+11}{2}=7.$$

Тогда сумма углов:

$$180^\circ(n-2)=180^\circ\cdot 5=900^\circ.$$

Ответ: В.

3) Если каждую сторону прямоугольника уменьшить в 10 раз, то площадь уменьшится в

$$10\cdot 10=100$$

раз.

Ответ: А.

4) Площадь параллелограмма:

$$S=ah_a,$$

где $$a=16$$ см, $$S=80$$ см$$^2$$. Тогда высота к этой стороне равна

$$h_a=\frac{S}{a}=\frac{80}{16}=5\text{ см}.$$

Другая сторона параллелограмма должна быть больше этой высоты, значит подходит только $$6$$ см.

Ответ: Г.

5) Пусть $$AH$$ — высота параллелограмма к стороне $$BC$$. Тогда

$$BM:MC=1:3,$$

значит

$$BC=BM+MC=BM+3BM=4BM.$$

Площадь параллелограмма:

$$S_{ABCD}=BC\cdot AH=4BM\cdot AH=S,$$

откуда

$$BM\cdot AH=\frac{S}{4}.$$

Площадь треугольника $$ABM$$:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\,BM\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot \frac{S}{4}=\frac{S}{8}.$$

Ответ: А.

6) Пусть $$a$$ — сторона маленького квадрата, $$b$$ — сторона большого квадрата. Тогда по рисунку

$$b^2=(3a)^2+a^2.$$

Так как площадь маленького квадрата равна $$4\text{ см}^2$$, то

$$a^2=4,\quad a=2.$$

Следовательно,

$$b^2=9a^2+a^2=10a^2=10\cdot 4=40.$$

Значит, площадь большого квадрата равна $$40\text{ см}^2$$.

Ответ: Г.

7) Пусть $$R=1$$ см — радиус окружности, $$a$$ — сторона квадрата, $$b$$ — сторона равностороннего треугольника. Для треугольника

$$h^2=b^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{3b^2}{4},\quad h=\frac{b\sqrt{3}}{2}.$$

Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность,

$$R=\frac{2}{3}h,$$

откуда

$$h=\frac{3R}{2},\quad b=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}.$$

Тогда площадь треугольника:

$$S_t=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot \frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ равна $$2R$$, значит

$$a\sqrt{2}=2R,\quad a=R\sqrt{2},$$

и

$$S_k=a^2=2R^2.$$

Следовательно,

$$\frac{S_t}{S_k}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{2R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.$$

Ответ: Г.

8) Центры равных касающихся окружностей и точки касания дают:

$$O_1A=O_1C=O_2C=O_2B=R,$$

поэтому

$$AO_2=O_1A+O_1C+O_2C=3R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABO_2$$:

$$AB^2=(AO_2)^2+(BO_2)^2,$$

$$10^2=(3R)^2+R^2,$$

$$10R^2=100,\quad R^2=10,\quad R=\sqrt{10}.$$

Тогда

$$S_{ABO_2}=\frac{1}{2}\cdot AO_2\cdot BO_2=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=15\text{ см}^2.$$

Ответ: Б.

9) Для всех точек $$X$$ с одинаковой площадью треугольника $$AXB$$ высота к основанию $$AB$$ должна быть одинаковой. Значит, геометрическое место таких точек — две прямые, параллельные $$AB$$.

Ответ: Г.

10) Пусть $$BC=x$$. Так как диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и делят среднюю линию на три равные части, то

$$MN=\frac{1}{2}(AD+BC),$$

а из условия деления на три равные части получаем

$$MN=3ME.$$

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, значит

$$ME=\frac{1}{2}BC.$$

Тогда

$$MN=3ME=\frac{3}{2}BC.$$

С другой стороны,

$$MN=\frac{1}{2}(12+BC).$$

Следовательно,

$$\frac{3}{2}BC=\frac{1}{2}(12+BC),$$

$$3BC=12+BC,$$

$$2BC=12,\quad BC=6.$$

Из прямоугольного треугольника с диагональю и высотой получаем

$$BH=9.$$

Тогда площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH=\frac{1}{2}(12+6)\cdot 9=81\text{ см}^2.$$

Ответ: В.