Проверьте себя №3 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Задание № 3. Тестовая форма «Проверьте себя»
- Диаметр $$AB$$ окружности с центром $$O$$ перпендикулярен хорде $$CD$$ (рис. 191). Какое из данных равенств неверно?
А) $$AC^2=AM\cdot AB$$;
В) $$AD^2=MB\cdot AB$$;
Б) $$CM^2=AM\cdot MB$$;
Г) $$DM^2=AM\cdot MB$$. - На каком рисунке длина отрезка $$x$$ равна $$2a$$?
- Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза
А) равна сумме катетов;
Б) равна сумме квадратов катетов;
В) больше катета;
Г) равна квадрату суммы катетов. - Длина отрезка $$x$$ на рисунке 192 (размеры даны в сантиметрах) равна
А) $$4\text{ см}$$;
Б) $$3\text{ см}$$;
В) $$5\text{ см}$$;
Г) $$3\sqrt{2}\text{ см}$$. - Биссектриса равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна
А) $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$;
Б) $$\frac{a\sqrt{2}}{3}$$;
В) $$\frac{a\sqrt{3}}{3}$$;
Г) $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$. - Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$a$$, равен
А) $$\frac{a}{2}$$;
Б) $$a\sqrt{2}$$;
В) $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$;
Г) $$2a$$. - Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна $$a$$. Тогда его катет равен
А) $$\frac{a\sqrt{2}}{2}$$;
Б) $$a\sqrt{2}$$;
В) $$2a$$;
Г) $$\frac{a}{2}$$. - Пусть $$\alpha$$ и $$\beta$$ — острые углы прямоугольного неравнобедренного треугольника. Какое из данных равенств верно?
А) $$\sin\alpha\cdot\tg\alpha=\cos\alpha$$;
В) $$\sin\alpha\cdot\tg\beta=\sin\beta$$;
Б) $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\beta$$;
Г) $$\cos\alpha\cdot\tg\beta=\sin\beta$$. - Пусть $$\alpha$$ — острый угол прямоугольного треугольника. Какое из данных равенств не может выполняться?
А) $$\sin\alpha=\frac{1}{3}$$;
Б) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}$$;
В) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
Г) $$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}$$. - Длина отрезка $$x$$ на рисунке 193 равна
А) $$\frac{\sqrt{2}}{2}a\sin\alpha$$;
Б) $$\frac{a\sqrt{2}}{2}\tg\alpha$$;
В) $$\frac{a\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$$;
Г) $$a\sqrt{2}\tg\alpha$$.
1. Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то углы, опирающиеся на диаметр, прямые: $$\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$$. В прямоугольном $$\triangle ACB$$ по теореме о катете и гипотенузе получаем:
$$AC^2 = AM \cdot AB,$$
а в прямоугольном $$\triangle ADB$$:
$$AD^2 = AM \cdot AB,$$
и для отрезков хорды:
$$CM^2 = AM \cdot MB,$$
$$DM^2 = AM \cdot MB.$$
Неверным является равенство $$AD^2 = MB \cdot AB$$, то есть вариант В.
2. По рисунку получаем $$x^2 = a \cdot 4a = 4a^2$$, значит $$x = 2a$$. Верный ответ: Б.
3. Из теоремы Пифагора $$c^2 = a^2 + b^2$$ следует, что гипотенуза больше каждого катета: $$c > a$$ и $$c > b$$. Верный ответ: В.
4. В прямоугольном $$\triangle DAC$$:
$$CD^2 = AD^2 + AC^2,$$
$$13^2 = 12^2 + AC^2,$$
$$169 = 144 + AC^2,$$
$$AC^2 = 25,\quad AC = 5.$$
В прямоугольном $$\triangle ABC$$:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2,$$
$$5^2 = AB^2 + 4^2,$$
$$25 = AB^2 + 16,$$
$$AB^2 = 9,\quad AB = 3.$$
Верный ответ: Б.
5. В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой и медианой. Тогда
$$AH = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}.$$
В прямоугольном $$\triangle ABH$$:
$$AB^2 = AH^2 + BH^2,$$
$$a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + BH^2,$$
$$BH^2 = \frac{3a^2}{4},\quad BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Верный ответ: Г.
6. Диагональ квадрата со стороной $$a$$ равна
$$AC = a\sqrt{2}.$$
Центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей, поэтому радиус равен половине диагонали:
$$OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Верный ответ: В.
7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, пусть каждый равен $$x$$. Тогда гипотенуза
$$AB = x\sqrt{2}.$$
Высота к гипотенузе равна
$$h = \frac{x^2}{AB} = \frac{x^2}{x\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}.$$
По условию $$h = a$$, значит
$$x = a\sqrt{2}.$$
Верный ответ: Б.
8. В прямоугольном $$\triangle ABC$$:
$$\sin \alpha = \frac{BC}{AB},\qquad \tg \beta = \frac{AC}{BC}.$$
Тогда
$$\sin \alpha \cdot \tg \beta = \frac{BC}{AB}\cdot \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB} = \sin \beta.$$
Верное равенство: В.
9. Для острого угла прямоугольного треугольника всегда $$0 < \sin \alpha < 1$$. Поэтому равенство
$$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
невозможно, так как $$\frac{2}{\sqrt{3}} > 1$$. Верный ответ: Г.
10. В прямоугольном $$\triangle ACB$$:
$$\tg \alpha = \frac{BC}{AC},\qquad BC = AC \cdot \tg \alpha = a \tg \alpha.$$
В прямоугольном $$\triangle CDB$$, где $$\angle CDB = 90^\circ$$ и $$\angle BCD = 45^\circ$$, имеем
$$\sin \angle C = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$BD = BC \cdot \sin \angle C = a \tg \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\tg \alpha.$$
Верный ответ: Б.
Ответ
1 — В; 2 — Б; 3 — В; 4 — Б; 5 — Г; 6 — В; 7 — Б; 8 — В; 9 — Г; 10 — Б.
