Проверьте себя №2 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На рисунке 169 A1B1 параллельна A2B2, A2B2 параллельна A3B3, A1A2 = 1/2A1A3. Отсюда следует, что
А A1A2 = B1B2; В A1A3 = B1B3;
Б B1B3 = 2B2B3; Г A1A2 = B2B3;
2. Если медианы AA1 и BB1 треугольника АВС пересекаются в точке M, то какое из данных равенств верно для любого треугольника АВС?
А АМ : MB1 = ВМ : MA1;
Б MA1 = 1/3 MB;
В MA1 = 1/2 AM;
Г MB1 = 1/2 BB1;
3. На рисунке 170 A1C1 параллельна AC. Тогда
А A1C1 / AC = BA1 / A1A; В BC / BC1 = AC / A1C1;
Б BA1 / AB = CB / BC1; Г AC / A1C1 = BA1 / AB;
4. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 9 см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису BB1, считая от вершины В?
А 2 : 3; Б 2 : 1; В 4 : 3; Г 3 : 4;
5. Через точку М стороны ВС параллелограмма ABCD проведена прямая, параллельная стороне CD. Эта прямая пересекает отрезки BD и AD в точках К и F соответственно. Известно, что ВМ : FD = 2 : 1. Чему равно отношение KD : ВК?
А 2 : 1; Б 1 : 2; В 1 : 3; Г 4 : 1;
6. В треугольнике АВС известно, что АВ = 14 см, ВС = 21 см. На стороне АВ на расстоянии 4 см от вершины А отмечена точка D, через которую проведена прямая, параллельная стороне АС. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону ВС.
А 12 см, 9 см; Б 18 см, 3 см; В 15 см, 6 см; Г 14 см, 7 см;
7. Отрезок MN, проведённый через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции АВCD, параллелен её основаниям рис. 171. Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?
А 4; Б 6; В 3; Г 5;
8. Через вершины А и С неравнобедренного треугольника АВС проведена окружность, которая пересекает стороны ВА и ВС в точках Е и D соответственно рис. 172. Какое из данных равенств является верным?
А BC / BD = BA / BC; В DE / AC= BD / BC;
Б BE / BC = BD / BA; Г BD / DE = BC / AC;
9. Хорда АВ пересекает хорду CD в её середине и делится точкой пересечения на отрезки, равные 4 см и 25 см. Чему равна хорда CD?
А 10 см; Б 5 см; В 100 см; Г 20 см;
10. В треугольнике АВС известно, что АВ = 10 см, ВС = 4 см, СА = 8 см. На стороне АС отмечена точка D такая, что AD = 6 см. Чему равен отрезок BD?
А 5 см; Б 4 см; В 6 см; Г 7 см;

1. Так как $$A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3,$$ то отрезки, высекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны. Из условия $$A_1A_2=\frac12 A_1A_3$$ получаем $$A_1A_3=2A_1A_2.$$ Тогда

$$\frac{B_1B_3}{B_1B_2}=\frac{A_1A_3}{A_1A_2}=2,$$

значит, $$B_1B_3=2B_1B_2.$$ Следовательно, верно равенство $$B_2B_3=B_1B_3-B_1B_2=B_1B_2,$$ то есть $$B_2B_3=B_1B_2.$$ Среди предложенных вариантов подходит $$B_1B_3=2B_2B_3.$$

2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому для медианы $$AA_1$$ имеем

$$AM:MA_1=2:1,$$

откуда

$$MA_1=\frac12 AM.$$

3. Если $$A_1C_1 \parallel AC,$$ то треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1BC_1$$ подобны по двум углам. Поэтому

$$\frac{BC}{BC_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

4. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе $$BB_1$$ и делит её в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$$BO:OB_1=(AB+BC):AC.$$

Подставим данные:

$$BO:OB_1=(8+4):9=12:9=4:3.$$

5. Пусть прямая через $$M$$ параллельна $$CD$$ пересекает $$BD$$ в точке $$K$$ и $$AD$$ в точке $$F$$. Тогда в параллелограмме $$MCDF$$ имеем

$$MF=CD,\quad FD=MC.$$

Из условия $$BM:FD=2:1$$ получаем

$$BM=2FD=2MC.$$

В треугольнике $$BCD$$ отрезок $$MK \parallel CD,$$ значит, $$\triangle BMK \sim \triangle BDC$$ и

$$\frac{BK}{BD}=\frac{BM}{BC}.$$

Так как $$BD=BK+KD,$$ то удобнее записать

$$\frac{KD}{BK}=\frac{CD}{BM}=\frac{MC}{BM}=\frac12.$$

6. Так как $$DE \parallel AC,$$ то $$\triangle BDE \sim \triangle BAC.$$ Сначала найдём

$$BD=AB-AD=14-4=10.$$

Тогда

$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{10}{14}=\frac57,$$

откуда

$$BE=\frac57 \cdot 21=15,$$

$$CE=BC-BE=21-15=6.$$

7. В трапеции $$ABCD$$ с $$BC \parallel MN \parallel AD$$ получаются пары подобных треугольников:

• $$\triangle AED \sim \triangle CEB,$$
• $$\triangle MBE \sim \triangle ABD,$$
• $$\triangle NCE \sim \triangle DCA,$$
• $$\triangle AME \sim \triangle ABC,$$
• $$\triangle DNE \sim \triangle DCB.$$

Итак, изображено $$5$$ пар подобных треугольников.

8. Так как точки $$A, E, D, C$$ лежат на одной окружности, то для хорд $$AE$$ и $$CD$$, пересекающихся в точке $$B,$$ выполняется

$$BA \cdot BE = BC \cdot BD.$$

Делим обе части на $$BA \cdot BC$$:

$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}.$$

9. Для пересекающихся хорд имеем

$$AM \cdot BM = CM \cdot DM.$$

По условию $$AM=25$$ см, $$BM=4$$ см, а $$CM=DM.$$ Тогда

$$25 \cdot 4 = CM^2,$$

$$CM^2=100,$$

$$CM=10.$$

Следовательно,

$$CD=CM+DM=10+10=20.$$

10. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DBC.$$ У них

$$CD=AC-AD=8-6=2,$$

$$\angle ACB=\angle BCD,$$

а также

$$\frac{CD}{BC}=\frac{2}{4}=\frac12,\qquad \frac{BC}{AC}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle DBC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac12,$$

откуда

$$BD=\frac12 \cdot 10=5.$$

Ответ

1 — Б; 2 — В; 3 — В; 4 — В; 5 — Б; 6 — В; 7 — Г; 8 — Б; 9 — Г; 10 — А.