Проверьте себя №2 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Задание № 2. «Проверьте себя»
- На рисунке 169 $$A_1B_1 \parallel A_2B_2$$, $$A_2B_2 \parallel A_3B_3$$, $$A_1A_2=\frac{1}{2}A_1A_3$$. Отсюда следует, что:
А) $$A_1A_2=B_1B_2$$;
В) $$A_1A_3=B_1B_3$$;
Б) $$B_1B_3=2B_2B_3$$;
Г) $$A_1A_2=B_2B_3$$. - Если медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$, то какое из данных равенств верно для любого треугольника $$ABC$$?
А) $$AM:MB_1=BM:MA_1$$;
Б) $$MA_1=\frac{1}{3}MB$$;
В) $$MA_1=\frac{1}{2}AM$$;
Г) $$MB_1=\frac{1}{2}BB_1$$. - На рисунке 170 $$A_1C_1 \parallel AC$$. Тогда:
А) $$\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{BA_1}{A_1A}$$;
В) $$\frac{BC}{BC_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$;
Б) $$\frac{BA_1}{AB}=\frac{CB}{BC_1}$$;
Г) $$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BA_1}{AB}$$. - В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=8\text{ см}$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$AC=9\text{ см}$$. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису $$BB_1$$, считая от вершины $$B$$?
А) $$2:3$$;
Б) $$2:1$$;
В) $$4:3$$;
Г) $$3:4$$. - Через точку $$M$$ стороны $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, параллельная стороне $$CD$$. Эта прямая пересекает отрезки $$BD$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$F$$ соответственно. Известно, что $$BM:FD=2:1$$. Чему равно отношение $$KD:BK$$?
А) $$2:1$$;
Б) $$1:2$$;
В) $$1:3$$;
Г) $$4:1$$. - В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=14\text{ см}$$, $$BC=21\text{ см}$$. На стороне $$AB$$ на расстоянии $$4\text{ см}$$ от вершины $$A$$ отмечена точка $$D$$, через которую проведена прямая, параллельная стороне $$AC$$. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону $$BC$$.
А) $$12\text{ см}, 9\text{ см}$$;
Б) $$18\text{ см}, 3\text{ см}$$;
В) $$15\text{ см}, 6\text{ см}$$;
Г) $$14\text{ см}, 7\text{ см}$$. - Отрезок $$MN$$, проведённый через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции $$ABCD$$, параллелен её основаниям (рис. 171). Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?
А) 4;
Б) 6;
В) 3;
Г) 5. - Через вершины $$A$$ и $$C$$ неравнобедренного треугольника $$ABC$$ проведена окружность, которая пересекает стороны $$BA$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$D$$ соответственно (рис. 172). Какое из данных равенств является верным?
А) $$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$$;
В) $$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$$;
Б) $$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}$$;
Г) $$\frac{BD}{DE}=\frac{BC}{AC}$$. - Хорда $$AB$$ пересекает хорду $$CD$$ в её середине и делится точкой пересечения на отрезки, равные $$4\text{ см}$$ и $$25\text{ см}$$. Чему равна хорда $$CD$$?
А) $$10\text{ см}$$;
Б) $$5\text{ см}$$;
В) $$100\text{ см}$$;
Г) $$20\text{ см}$$. - В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$CA=8\text{ см}$$. На стороне $$AC$$ отмечена точка $$D$$ такая, что $$AD=6\text{ см}$$. Чему равен отрезок $$BD$$?
А) $$5\text{ см}$$;
Б) $$4\text{ см}$$;
В) $$6\text{ см}$$;
Г) $$7\text{ см}$$.
1. Так как $$A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3,$$ то отрезки, высекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны. Из условия $$A_1A_2=\frac12 A_1A_3$$ получаем $$A_1A_3=2A_1A_2.$$ Тогда
$$\frac{B_1B_3}{B_1B_2}=\frac{A_1A_3}{A_1A_2}=2,$$
значит, $$B_1B_3=2B_1B_2.$$ Следовательно, верно равенство $$B_2B_3=B_1B_3-B_1B_2=B_1B_2,$$ то есть $$B_2B_3=B_1B_2.$$ Среди предложенных вариантов подходит $$B_1B_3=2B_2B_3.$$
2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому для медианы $$AA_1$$ имеем
$$AM:MA_1=2:1,$$
откуда
$$MA_1=\frac12 AM.$$
3. Если $$A_1C_1 \parallel AC,$$ то треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1BC_1$$ подобны по двум углам. Поэтому
$$\frac{BC}{BC_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$
4. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе $$BB_1$$ и делит её в отношении, равном отношению прилежащих сторон:
$$BO:OB_1=(AB+BC):AC.$$
Подставим данные:
$$BO:OB_1=(8+4):9=12:9=4:3.$$
5. Пусть прямая через $$M$$ параллельна $$CD$$ пересекает $$BD$$ в точке $$K$$ и $$AD$$ в точке $$F$$. Тогда в параллелограмме $$MCDF$$ имеем
$$MF=CD,\quad FD=MC.$$
Из условия $$BM:FD=2:1$$ получаем
$$BM=2FD=2MC.$$
В треугольнике $$BCD$$ отрезок $$MK \parallel CD,$$ значит, $$\triangle BMK \sim \triangle BDC$$ и
$$\frac{BK}{BD}=\frac{BM}{BC}.$$
Так как $$BD=BK+KD,$$ то удобнее записать
$$\frac{KD}{BK}=\frac{CD}{BM}=\frac{MC}{BM}=\frac12.$$
6. Так как $$DE \parallel AC,$$ то $$\triangle BDE \sim \triangle BAC.$$ Сначала найдём
$$BD=AB-AD=14-4=10.$$
Тогда
$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{10}{14}=\frac57,$$
откуда
$$BE=\frac57 \cdot 21=15,$$
$$CE=BC-BE=21-15=6.$$
7. В трапеции $$ABCD$$ с $$BC \parallel MN \parallel AD$$ получаются пары подобных треугольников:
- $$\triangle AED \sim \triangle CEB,$$
- $$\triangle MBE \sim \triangle ABD,$$
- $$\triangle NCE \sim \triangle DCA,$$
- $$\triangle AME \sim \triangle ABC,$$
- $$\triangle DNE \sim \triangle DCB.$$
Итак, изображено $$5$$ пар подобных треугольников.
8. Так как точки $$A, E, D, C$$ лежат на одной окружности, то для хорд $$AE$$ и $$CD$$, пересекающихся в точке $$B,$$ выполняется
$$BA \cdot BE = BC \cdot BD.$$
Делим обе части на $$BA \cdot BC$$:
$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}.$$
9. Для пересекающихся хорд имеем
$$AM \cdot BM = CM \cdot DM.$$
По условию $$AM=25$$ см, $$BM=4$$ см, а $$CM=DM.$$ Тогда
$$25 \cdot 4 = CM^2,$$
$$CM^2=100,$$
$$CM=10.$$
Следовательно,
$$CD=CM+DM=10+10=20.$$
10. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DBC.$$ У них
$$CD=AC-AD=8-6=2,$$
$$\angle ACB=\angle BCD,$$
а также
$$\frac{CD}{BC}=\frac{2}{4}=\frac12,\qquad \frac{BC}{AC}=\frac{4}{8}=\frac12.$$
Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle DBC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac12,$$
откуда
$$BD=\frac12 \cdot 10=5.$$
Ответ
1 — Б; 2 — В; 3 — В; 4 — В; 5 — Б; 6 — В; 7 — Г; 8 — Б; 9 — Г; 10 — А.
