Упр.99 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В четырёхугольнике $$ABCD$$ известно, что $$AB \parallel CD$$, $$\angle A = \angle C$$. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

1) Так как $$AB \parallel CD,$$ а прямая $$BC$$ является секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle B+\angle C=180^\circ,$$

а значит, с учётом условия $$\angle A=\angle C,$$ получаем

$$\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A.$$

2) Рассмотрим прямые $$BC$$ и $$AD$$ с секущей $$AB$$. Тогда

$$\angle DAB+\angle ABC=\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Значит, $$AD \parallel BC.$$

3) Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено:

$$AB \parallel CD,$$

$$AD \parallel BC.$$

По определению, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.