Упр.97 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 97. На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 38) отложены равные отрезки АМ, ВК, СЕ и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Тогда

$$AB=CD,\quad AD=BC,\quad AB\parallel CD,\quad AD\parallel BC.$$

Докажем равенство противоположных сторон четырёхугольника $$MKEF$$.

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle AMF$$ и $$\triangle CEK$$.

Так как $$AM=CE$$ по условию, а

$$AF=AD-DF=BC-BK=CK,$$

то $$AF=CK$$.

Кроме того, $$\angle MAF=\angle ECK$$ как углы между соответственно параллельными прямыми $$AB\parallel CD$$ и $$AD\parallel BC$$.

Следовательно, $$\triangle AMF \cong \triangle CEK$$ по первому признаку, откуда

$$MF=KE.$$

2) Рассмотрим треугольники $$\triangle BKM$$ и $$\triangle DFE$$.

Имеем

$$BM=AB-AM=CD-CE=DE,$$

а также $$\angle KBM=\angle FDE$$ как углы между параллельными прямыми $$BC\parallel AD$$ и $$AB\parallel CD$$.

Следовательно, $$\triangle BKM \cong \triangle DFE$$ по первому признаку, откуда

$$MK=EF.$$

3) В четырёхугольнике $$MKEF$$ противоположные стороны попарно равны:

$$MF=KE,\quad MK=EF.$$

Значит, $$MKEF$$ — параллелограмм.

Ответ

$$MKEF$$ — параллелограмм.