Упр.95 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 95. Точки Е и F — соответственно середины сторон ВС и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$AD=BC,\quad AD \parallel BC.$$

Так как $$F$$ — середина стороны $$AD$$, то

$$AF=DF=\frac{1}{2}AD.$$

Так как $$E$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$BE=CE=\frac{1}{2}BC.$$

Из равенства $$AD=BC$$ получаем

$$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=CE.$$

Кроме того, отрезки $$AF$$ и $$CE$$ лежат на параллельных прямых, так как $$AF \subset AD$$, $$CE \subset BC$$ и $$AD \parallel BC$$. Следовательно,

$$AF \parallel CE.$$

В четырёхугольнике $$AECF$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$AF=CE$$ и $$AF \parallel CE$$. Значит, $$AECF$$ — параллелограмм.