Упр.94 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 94. Две окружности имеют общий центр О (рис. 37). В одной из окружностей проведён диаметр АВ, в другой — диаметр CD. Докажите, что четырёхугольник ACBD — параллелограмм.

Подробный ответ

Так как $$CD$$ — диаметр окружности с центром $$O$$, то $$CO=OD$$.

Так как $$AB$$ — диаметр другой окружности с центром $$O$$, то $$AO=OB$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. У них

$$AO=OB,$$

$$OD=OC,$$

$$\angle AOD=\angle BOC$$

как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AD=BC,$$

$$\angle DAO=\angle CBO.$$

Точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle DAO$$ и $$\angle CBO$$ являются накрест лежащими при секущей $$AB$$ и прямых $$AD$$ и $$BC$$. Поэтому

$$AD \parallel BC.$$

В четырёхугольнике $$ACBD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$AD=BC$$ и $$AD \parallel BC$$. Значит, $$ACBD$$ — параллелограмм.