Упр.93 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На диагонали $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ отметили точки $$M$$ и $$K$$ так, что $$AM = CK$$. Докажите, что четырёхугольник $$MBKD$$ — параллелограмм.

1) В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны:

$$AD=BC,\quad AD \parallel BC.$$

2) Прямая $$AC$$ — секущая для прямых $$AD$$ и $$BC$$, поэтому

$$\angle DAC=\angle BCA.$$

3) Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CKB$$. По условию $$AM=CK$$, а также $$AD=BC$$. Кроме того,

$$\angle DAM=\angle BCK,$$

так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на диагонали $$AC$$, значит лучи $$AM$$ и $$AC$$ совпадают, а лучи $$CK$$ и $$CA$$ совпадают.

Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle CKB$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$MD=BK,$$

а также

$$\angle AMD=\angle CKB.$$

4) Теперь рассмотрим прямые $$MD$$ и $$BK$$, пересечённые секущей $$MK$$. Тогда

$$\angle DMK=180^\circ-\angle AMD,$$

$$\angle BKM=180^\circ-\angle CKB.$$

Так как $$\angle AMD=\angle CKB,$$ то

$$\angle DMK=\angle BKM.$$

Следовательно, $$MD \parallel BK.$$

5) В четырёхугольнике $$MBKD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна:

$$MD=BK,\quad MD \parallel BK.$$

Значит, $$MBKD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$MBKD$$ — параллелограмм.