Упр.92 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Отрезок $$\text{АО}$$ — медиана треугольника $$\text{АBD}$$, отрезок $$\text{ВО}$$ — медиана треугольника $$\text{АВС}$$ (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник $$\text{ABCD}$$ — параллелограмм.

Подробный ответ

Так как $$AO$$ — медиана треугольника $$ABD$$, то точка $$O$$ является серединой отрезка $$BD$$, следовательно, $$BO=OD$$.

Так как $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$O$$ является серединой отрезка $$AC$$, следовательно, $$AO=OC$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам: $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.