Упр.90 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 90. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырёхугольника, равна 180°, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Подробный ответ

1) Рассмотрим прямые $$AD$$ и $$BC$$, а также секущую $$AB$$. По условию

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Значит, внутренние односторонние углы при секущей $$AB$$ в сумме равны $$180^\circ$$, следовательно,

$$AD \parallel BC.$$

2) Рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$, а также секущую $$BC$$. По условию

$$\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Тогда внутренние односторонние углы при секущей $$BC$$ в сумме равны $$180^\circ$$, значит,

$$AB \parallel CD.$$

3) В четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны:

$$AD \parallel BC,\qquad AB \parallel CD.$$

Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.