Упр.88 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ являются диаметрами окружности. Докажите, что $$AB$$ параллельна $$CD$$.

Рассмотрим окружность, для которой $$AC$$ и $$BD$$ — диаметры. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, а значит

$$AO=BO=CO=DO.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них

$$AO=CO,\quad BO=DO,$$

а углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные, следовательно, равны. Значит,

$$\triangle AOB \cong \triangle COD$$

по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BAO=\angle DCO.$$

Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle BAO$$ и $$\angle DCO$$ являются накрест лежащими при прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$. Следовательно,

$$AB \parallel CD.$$

Что и требовалось доказать.