Упр.859 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 859. Площадь равнобокой трапеции равна 36v2 см^2, а острый угол — 45°. Найдите высоту трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Обозначим высоту трапеции через $$CH$$. Рассмотрим прямоугольный $$\triangle CHD$$.

Так как острый угол трапеции равен $$45^\circ$$, то $$\angle D=45^\circ$$, значит

$$\sin \angle D=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CH}{CD}.$$

Отсюда

$$CD=\frac{CH}{\sin \angle D}=\frac{CH}{\sqrt{2}/2}=\frac{2CH}{\sqrt{2}}.$$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то она описанная, а значит суммы противоположных сторон равны:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Трапеция равнобокая, поэтому $$AB=CD$$. Тогда

$$AD+BC=2CD=\frac{4CH}{\sqrt{2}}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH.$$

Подставим данные:

$$36\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4CH}{\sqrt{2}}\cdot CH.$$

Упростим:

$$36\sqrt{2}=\frac{2CH^2}{\sqrt{2}}.$$

Умножим обе части на $$\sqrt{2}$$:

$$72=2CH^2,$$

$$CH^2=36,$$

$$CH=6.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$