Упр.858 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 858. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см.
Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а высоту через $$CH=90$$ см.
Так как диагонали $$AC$$ и $$BD$$ являются биссектрисами острых углов равнобокой трапеции, то для секущей $$AC$$ и параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ имеем:
$$\angle BCA=\angle DAC=\angle BAC.$$
Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$BEC$$. У них:
$$\angle BCE=\angle DAE,$$
$$\angle BEC=\angle AED$$ — вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle BEC \sim \triangle AED$$, откуда
$$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{CE}=\frac{13}{5},$$
значит
$$BC=\frac{5}{13}AD.$$
Трапеция равнобокая, поэтому $$AB=CD$$. В прямоугольном треугольнике $$DCH$$:
$$DH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}\left(AD-\frac{5}{13}AD\right)=\frac{4}{13}AD.$$
По теореме Пифагора:
$$CD^2=CH^2+DH^2,$$
$$\left(\frac{5}{13}AD\right)^2=90^2+\left(\frac{4}{13}AD\right)^2.$$
Тогда
$$\frac{25}{169}AD^2=90^2+\frac{16}{169}AD^2,$$
$$\frac{9}{169}AD^2=90^2,$$
$$\frac{3}{13}AD=90,$$
$$AD=390.$$
Тогда
$$BC=\frac{5}{13}\cdot 390=150.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH,$$
$$S=\frac{1}{2}(390+150)\cdot 90=24300.$$
Ответ
$$24300\ \text{см}^2$$