Упр.856 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Острый угол прямоугольного треугольника равен $$\alpha$$, а гипотенуза равна $$c$$. Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle C=90^\circ$$, гипотенуза $$AB=c$$, а острый угол $$\angle B=\alpha$$.

Тогда

$$\sin \angle B=\frac{AC}{AB}$$

откуда

$$AC=AB\cdot \sin \angle B=c\sin \alpha.$$

Так как $$\angle A+\angle B=90^\circ$$, то

$$\angle A=90^\circ-\alpha.$$

Следовательно,

$$\sin \angle A=\sin(90^\circ-\alpha)=\cos \alpha,$$

а значит

$$\sin \angle A=\frac{BC}{AB}.$$

Тогда

$$BC=AB\cdot \sin \angle A=c\cos \alpha.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot c\sin \alpha \cdot c\cos \alpha=\frac{1}{2}c^2\sin \alpha \cos \alpha.$$

Ответ

$$\frac{1}{2}c^2\sin \alpha \cos \alpha$$