Упр.854 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 854. Найдите площадь равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен R.

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник, $$O$$ — центр описанной окружности, $$R$$ — её радиус.

Проведём из центра окружности перпендикуляры к сторонам треугольника. Тогда $$OE \perp BC$$, $$OF \perp AC$$, а в равностороннем треугольнике эти перпендикуляры являются также медианами, поэтому $$BE=CE$$ и $$AF=CF$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Высота $$AE$$ является также биссектрисой, значит

$$\angle OAF=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOF$$. В нём

$$AO=R,\qquad OF=\frac{1}{2}AO=\frac{R}{2}.$$

Тогда

$$\tan 30^\circ=\frac{OF}{AF}.$$

Так как $$\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, получаем

$$AF=\frac{OF}{\tan 30^\circ}=\frac{R}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3R}{2\sqrt{3}}.$$

Поскольку $$AF=CF$$, то

$$AC=2AF=2\cdot \frac{3R}{2\sqrt{3}}=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}.$$

Высота треугольника $$ABC$$ равна

$$BF=BO+OF=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}.$$

Теперь найдём площадь:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BF =\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot \frac{3R}{2} =\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}. $$

Ответ

$$\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$