Упр.850 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 850. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, $$\angle ACB=90^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$CH$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$. Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

$$CH^2=AH\cdot BH.$$

По условию $$BH=AH+27$$, а $$CH=18$$. Подставим:

$$18^2=AH\cdot (AH+27)$$

$$324=AH^2+27AH$$

$$AH^2+27AH-324=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=27^2+4\cdot 324=729+1296=2025,$$

$$\sqrt{D}=45.$$

$$AH=\frac{-27+45}{2}=9$$

Тогда

$$BH=AH+27=9+27=36.$$

Следовательно, диаметр окружности:

$$AB=AH+BH=9+36=45.$$

Ответ

$$45\text{ см}$$