Упр.850 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на $$27\ \text{см}$$ больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна $$18\ \text{см}$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, $$\angle ACB=90^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$CH$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$. Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

$$CH^2=AH\cdot BH.$$

По условию $$BH=AH+27$$, а $$CH=18$$. Подставим:

$$18^2=AH\cdot (AH+27)$$

$$324=AH^2+27AH$$

$$AH^2+27AH-324=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=27^2+4\cdot 324=729+1296=2025,$$

$$\sqrt{D}=45.$$

$$AH=\frac{-27+45}{2}=9$$

Тогда

$$BH=AH+27=9+27=36.$$

Следовательно, диаметр окружности:

$$AB=AH+BH=9+36=45.$$

Ответ

$$45\text{ см}$$