Упр.849 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Катеты прямоугольного треугольника равны $$6$$ см и $$8$$ см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.
Обозначим радиус вписанной окружности через $$R$$. Тогда из свойств касательных к окружности получаем:
$$OE=OF=OH=R,$$
причём $$OE \perp AC,$$ $$OH \perp BC.$$
Так как угол $$\angle ACB=90^\circ,$$ то в четырёхугольнике $$CEOH$$ все углы прямые, значит это квадрат. Следовательно,
$$CE=CH=EO=OH=R.$$
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2 \\ AB^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
откуда
$$AB=10.$$
Пусть $$F$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда
$$AF=AE=6-R,$$
$$BF=BH=8-R.$$
Так как $$AB=AF+BF,$$ то
$$(6-R)+(8-R)=10 \\ 14-2R=10 \\ 2R=4 \\ R=2.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHB$$:
$$OB^2=OH^2+BH^2 \\ OB^2=2^2+6^2=4+36=40.$$
Значит,
$$OB=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$
Ответ
$$2\sqrt{10}\text{ см}$$
