Упр.849 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 849. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$R$$. Тогда из свойств касательных к окружности получаем:

$$OE=OF=OH=R,$$

причём $$OE \perp AC,$$ $$OH \perp BC.$$

Так как угол $$\angle ACB=90^\circ,$$ то в четырёхугольнике $$CEOH$$ все углы прямые, значит это квадрат. Следовательно,

$$CE=CH=EO=OH=R.$$

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$ AB^2=AC^2+BC^2 \\ AB^2=6^2+8^2=36+64=100, $$

откуда

$$AB=10.$$

Пусть $$F$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда

$$AF=AE=6-R,$$

$$BF=BH=8-R.$$

Так как $$AB=AF+BF,$$ то

$$ (6-R)+(8-R)=10 \\ 14-2R=10 \\ 2R=4 \\ R=2. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHB$$:

$$ OB^2=OH^2+BH^2 \\ OB^2=2^2+6^2=4+36=40. $$

Значит,

$$OB=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$

Ответ

$$2\sqrt{10}\text{ см}$$