Упр.848 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны $$5\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$.

Обозначим радиус окружности через $$R$$. Так как центр окружности лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника и окружность касается большего катета, то расстояние от центра до этого катета равно радиусу:

$$OH=R.$$

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2$$
$$AB^2=5^2+12^2=25+144=169,$$
$$AB=13.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABC$$ и $$OHB$$. У них:

$$\angle ACB=\angle OHB=90^\circ,$$

$$\angle ABC=\angle OBH,$$

значит, $$\triangle ABC \sim \triangle OHB$$.

Тогда

$$\frac{OB}{AB}=\frac{OH}{AC}.$$

Так как $$O$$ лежит на гипотенузе $$AB$$, то

$$OB=AB-AO=13-R.$$

Подставим в пропорцию:

$$\frac{13-R}{13}=\frac{R}{5}.$$

Решим уравнение:

$$5(13-R)=13R$$
$$65-5R=13R$$
$$18R=65$$
$$R=\frac{65}{18}.$$

Ответ

$$\frac{65}{18}\text{ см}$$