Упр.847 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$O$$ на сторону ромба. Тогда $$OH \perp AB$$, $$AH=25$$ см, $$BH=4$$ см.

В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AC=2AO,\qquad BD=2BO.$$

Кроме того, сторона ромба

$$AB=AH+BH=25+4=29\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOH$$ и $$BOH$$.

Из треугольника $$BOH$$:

$$OB^2=BH\cdot AB=4\cdot 29$$

$$OB=2\sqrt{29}$$

Тогда

$$BD=2OB=4\sqrt{29}\text{ см}$$

Из треугольника $$AOH$$:

$$AO^2=AH\cdot AB=25\cdot 29$$

$$AO=5\sqrt{29}$$

Следовательно,

$$AC=2AO=10\sqrt{29}\text{ см}$$

Ответ

$$BD=4\sqrt{29}\text{ см},\quad AC=10\sqrt{29}\text{ см}.$$