Упр.846 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Из точки $$K$$, лежащей вне прямой $$a$$, проведены к этой прямой наклонные $$KA$$ и $$KB$$, которые образуют с ней углы $$45^\circ$$ и $$30^\circ$$ соответственно. Найдите проекцию наклонной $$KB$$ на прямую $$a$$, если $$KA=8\sqrt{6}\ \text{см}$$.

Опустим из точки $$K$$ перпендикуляр $$KH$$ на прямую $$a$$. Тогда треугольники $$KAH$$ и $$KBH$$ прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике $$KAH$$:

$$\sin \angle KAH=\frac{KH}{KA}$$

Так как $$\angle KAH=45^\circ$$, то

$$KH=KA\cdot \sin 45^\circ=8\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBH$$. Здесь $$\angle KBH=30^\circ$$, поэтому

$$\tg 30^\circ=\frac{KH}{BH}.$$

Тогда

$$BH=\frac{KH}{\tg 30^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}=24.$$

Проекция наклонной $$KB$$ на прямую $$a$$ равна отрезку $$BH$$.

Ответ

$$24\text{ см}$$