Упр.845 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 845. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, на 6 см меньше основания. Найдите основание треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $$AC=x$$ см. Тогда высота, проведённая к основанию, равна $$BH=x-6$$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная к основанию, является также медианой, значит

$$AH=\frac{x}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Подставим известные значения:

$$15^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+(x-6)^2.$$

$$225=\frac{x^2}{4}+x^2-12x+36.$$

Умножим на $$4$$:

$$900=x^2+4x^2-48x+144.$$

$$5x^2-48x-756=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-48)^2-4\cdot 5\cdot(-756)=2304+15120=17424,$$

$$\sqrt{D}=132.$$

Тогда

$$x=\frac{48\pm 132}{10}.$$

Получаем положительный корень:

$$x=\frac{180}{10}=18.$$

Следовательно, основание треугольника равно $$18$$ см.

Ответ

$$18\text{ см}$$