Упр.844 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 844. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 10 см, а расстояние между серединой гипотенузы и основанием высоты треугольника, проведённой к гипотенузе, равно 6 см. Найдите периметр данного треугольника.

Подробный ответ

Обозначим основание высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, через $$H$$, а середину гипотенузы — через $$M$$. Тогда $$CM$$ — медиана, $$CH$$ — высота, $$CM=10$$ см, $$MH=6$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$CHM$$ по теореме Пифагора:

$$CM^2=CH^2+MH^2$$

$$10^2=CH^2+6^2$$

$$100=CH^2+36$$

$$CH^2=64,\quad CH=8$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, значит

$$CM=\frac12 AB$$

Отсюда

$$AB=2\cdot 10=20$$

Так как $$M$$ — середина гипотенузы, то

$$AM=BM=\frac12 AB=10$$

Тогда

$$AH=AM-MH=10-6=4$$

$$BH=BM+MH=10+6=16$$

Для катетов используем свойство высоты, проведённой к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике:

$$AC^2=AH\cdot AB$$

$$BC^2=BH\cdot AB$$

Тогда