Упр.842 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 842. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке М, СМ = 4 см, DM = 6 см, отрезок АМ на 2 см больше отрезка ВМ. Найдите хорду AB.

Для пересекающихся хорд окружности выполняется теорема:

$$AM \cdot BM = CM \cdot DM.$$

Подставим данные:

$$AM \cdot BM = 4 \cdot 6 = 24.$$

По условию $$AM$$ на $$2$$ см больше $$BM$$, значит

$$AM = BM + 2.$$

Тогда

$$ (BM+2)\cdot BM = 24 $$

$$ BM^2 + 2BM — 24 = 0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 2^2 + 4\cdot 24 = 100, $$

$$ BM = \frac{-2 + 10}{2} = 4. $$

Тогда

$$AM = 4 + 2 = 6.$$

Искомая хорда

$$AB = AM + BM = 6 + 4 = 10.$$

Ответ

$$10\text{ см}$$