Упр.840 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Прямая $$MB$$ пересекает окружность в точках $$A$$ и $$B$$ (точка $$A$$ лежит между точками $$M$$ и $$B$$), а прямая $$MD$$ — в точках $$C$$ и $$D$$ (точка $$C$$ лежит между точками $$M$$ и $$D$$), причём $$AB = MC$$, $$MA = 20\text{ см}$$, $$CD = 11\text{ см}$$. Найдите отрезок $$AB$$.

Обозначим искомую длину через $$AB=x$$.

Так как точки $$A$$ и $$C$$ лежат между точкой $$M$$ и точками $$B$$ и $$D$$ соответственно, то

$$MB=MA+AB=20+x,$$

$$MD=MC+CD=x+11,$$

поскольку по условию $$AB=MC$$.

Для двух секущих, проведённых из одной точки $$M$$, выполняется теорема о степени точки:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Подставим известные значения:

$$20(20+x)=x(x+11).$$

Раскроем скобки:

$$400+20x=x^2+11x,$$

$$x^2-9x-400=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-9)^2-4\cdot 1\cdot(-400)=81+1600=1681,$$

$$\sqrt{D}=41.$$

Тогда

$$x=\frac{9\pm 41}{2}.$$

Получаем $$x_1=25$$ и $$x_2=-16$$. Отрицательное значение не подходит, значит

$$AB=25\text{ см}.$$

Ответ

$$25\text{ см}$$