Упр.840 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 840. Прямая МВ пересекает окружность в точках A и В (точка А лежит между точками М и В), а прямая MD — в точках С и D (точка С лежит между точками М и D), причём AВ = МС, МА = 20 см, CD = 11 см. Найдите отрезок AB.

Обозначим искомую длину через $$AB=x$$.

Так как точки $$A$$ и $$C$$ лежат между точкой $$M$$ и точками $$B$$ и $$D$$ соответственно, то

$$MB=MA+AB=20+x,$$

$$MD=MC+CD=x+11,$$

поскольку по условию $$AB=MC$$.

Для двух секущих, проведённых из одной точки $$M$$, выполняется теорема о степени точки:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Подставим известные значения:

$$20(20+x)=x(x+11).$$

Раскроем скобки:

$$400+20x=x^2+11x,$$

$$x^2-9x-400=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-9)^2-4\cdot 1\cdot(-400)=81+1600=1681,$$

$$\sqrt{D}=41.$$

Тогда

$$x=\frac{9\pm 41}{2}.$$

Получаем $$x_1=25$$ и $$x_2=-16$$. Отрицательное значение не подходит, значит

$$AB=25\text{ см}.$$

Ответ

$$25\text{ см}$$