Упр.84 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 84. На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВCD вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСК. Докажите, что треугольник MKD — равносторонний.

1) В параллелограмме $$ABCD$$ имеем:

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle C,$$

а также

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\quad \angle B=180^\circ-\angle A.$$

2) Рассмотрим треугольники $$MAD$$, $$DKC$$ и $$MBK$$.

Так как $$\triangle ABM$$ и $$\triangle BCK$$ равносторонние, то

$$\angle MAB=60^\circ,\quad \angle KBC=60^\circ,$$

$$MA=AB,\quad BK=BC.$$

Тогда

$$\angle MAD=60^\circ+\angle A,$$

$$\angle DCK=60^\circ+\angle C=60^\circ+\angle A.$$

Кроме того,

$$\angle MBK=360^\circ-\angle B-60^\circ-60^\circ,$$

откуда

$$\angle MBK=240^\circ-(180^\circ-\angle A)=60^\circ+\angle A.$$

Значит,

$$\angle MBK=\angle MAD=\angle DCK.$$

Также

$$BK=BC=AD,\quad MB=MA=AB=CD.$$

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников

$$\triangle MAD \cong \triangle DKC \cong \triangle MBK.$$

Отсюда получаем

$$MD=MK=KD.$$

Значит, треугольник $$MKD$$ равносторонний.

Ответ

$$\triangle MKD$$ — равносторонний.