Упр.839 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 839. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую, равноудалённую от этих точек. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой. Чтобы найти прямую, равноудалённую от этих точек, рассмотрим отрезок $$AC$$ и построим к нему серединный перпендикуляр.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$, то есть $$BH \perp AC$$. Отметим точку $$O$$ — середину отрезка $$BH$$. Через точку $$O$$ проведём прямую, перпендикулярную $$BH$$.

Так как $$O$$ — середина $$BH$$, то прямая, проходящая через $$O$$ и перпендикулярная $$BH$$, является серединным перпендикуляром к отрезку $$BH$$. Значит, любая точка этой прямой равноудалена от точек $$B$$ и $$H$$.

Кроме того, поскольку $$BH \perp AC$$, то прямая, перпендикулярная $$BH$$, параллельна $$AC$$. Следовательно, построенная прямая параллельна $$AC$$ и проходит через середину $$BH$$. Она и будет равноудалённой от трёх данных точек.

Для трёх точек, не лежащих на одной прямой, такая прямая определяется однозначно.