Упр.838 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 838. Периметр параллелограмма равен 72 см, а его высоты относятся как 5 : 7. Найдите стороны параллелограмма.

Подробный ответ

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда периметр равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC).$$

По условию $$P_{ABCD}=72$$, следовательно

$$2(AB+BC)=72,$$

$$AB+BC=36.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CBF$$, где $$BE$$ и $$BF$$ — высоты параллелограмма. У них

$$\angle BEA=\angle BFC=90^\circ,$$

а также $$\angle BAE=\angle BCF$$, так как $$AB \parallel CD$$ и $$AD \parallel BC$$. Значит, $$\triangle ABE \sim \triangle CBF$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BF}=\frac{5}{7}.$$

Пусть $$AB=5x$$, $$BC=7x$$. Тогда