Упр.837 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В треугольник $$ABC$$ вписан ромб $$ADEF$$ так, что угол $$A$$ у них общий, а вершина $$E$$ принадлежит стороне $$BC$$. Найдите сторону ромба, если $$AB=a$$, $$AC=b$$.

Рассмотрим ромб $$ADEF$$. У него все стороны равны, значит

$$AD=DE.$$

Так как $$DE \parallel AC$$, то треугольники $$\triangle BDE$$ и $$\triangle BAC$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{DE}.$$

Пусть $$AD=DE=x$$. Тогда

$$BD=AB-AD=a-x.$$

Подставим в пропорцию:

$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$ax=b(a-x),$$

$$ax=ab-bx,$$

$$ax+bx=ab,$$

$$x(a+b)=ab,$$

$$x=\frac{ab}{a+b}.$$

Так как $$x=AD$$, то

$$AD=\frac{ab}{a+b}.$$

Ответ

$$\frac{ab}{a+b}$$