Упр.835 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 835. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет 2/9 высоты, проведенной к основанию треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

Подробный ответ

Обозначим основание равнобедренного треугольника $$ABC$$ через $$AC$$, а боковые стороны — $$AB$$ и $$BC$$. Пусть $$BD$$ — высота к основанию, а $$O$$ — центр вписанной окружности.

Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой, то точка $$O$$ лежит на $$BD$$. Кроме того, центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, значит $$O \in AE$$.

Из свойства вписанной окружности получаем, что расстояние от центра до основания равно радиусу, то есть $$OD=r$$. По условию

$$r=\frac{2}{9}h,$$

где $$h=BD$$. Следовательно,

$$OD=\frac{2}{9}BD,$$

а значит

$$BO=BD-OD=BD-\frac{2}{9}BD=\frac{7}{9}BD.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Поскольку $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BO}{DO}=\frac{\frac{7}{9}BD}{\frac{2}{9}BD}=\frac{7}{2}.$$

Значит,

$$AB=\frac{7}{2}AD.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$, а высота $$BD$$ является также медианой, поэтому

$$AC=2AD.$$