Упр.833 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Медианы $$AD$$ и $$BM$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Через точку $$O$$ проведена прямая, которая параллельна стороне $$AC$$ и пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите $$BD$$, $$DK$$ и $$KC$$, если $$BC=18\text{ см}$$.

Подробный ответ

1) В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AD$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$, значит, точка $$O$$ — центр тяжести треугольника. Поэтому на медиане $$AD$$ выполняется отношение

$$BO:OM=2:1.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 18=9\text{ см}.$$

2) Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Прямая через точку $$O$$ параллельна стороне $$AC$$, значит, в треугольнике $$MBC$$ отрезок $$OK$$ параллелен стороне $$MC$$, а точка $$O$$ делит медиану $$BM$$ в отношении $$BO:OM=2:1$$. Тогда по свойству параллельных прямых

$$\frac{BK}{CK}=\frac{BO}{OM}=2,$$

то есть

$$BK=2CK.$$

3) Так как $$BC=BK+CK$$, получаем

$$2CK+CK=18,$$

$$3CK=18,$$

$$CK=6\text{ см}.$$

Тогда

$$BK=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Поскольку $$D$$ лежит на отрезке $$BC$$, а $$K$$ — между $$D$$ и $$C$$, то

$$DK=BK-BD=12-9=3\text{ см}.$$