Упр.832 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 832. Биссектриса угла А параллелограмма АВCD пересекает диагональ BD и сторону ВС в точках Е и F соответственно, BE : ED = 2 : 7. Найдите отношение BE : FC.

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$BC=AD$$ и $$BC \parallel AD$$.

Так как $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, то при секущей $$AF$$ и параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ получаем:

$$\angle BFA=\angle DAF.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle BEF$$ и $$\triangle AED$$.

У них:

$$\angle BFE=\angle DAE,$$

$$\angle BEF=\angle AED$$ — вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BEF \sim \triangle AED$$ по двум углам.

Из подобия треугольников:

$$\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{DE}=\frac{2}{7}.$$

Значит,

$$BF=\frac{2}{7}AD.$$

Теперь найдём $$CF$$:

$$BC=BF+CF,$$

а так как $$BC=AD,$$ то

$$AD=\frac{2}{7}AD+CF,$$

откуда

$$CF=\frac{5}{7}AD.$$

Тогда

$$BF:CF=\frac{2}{7}AD:\frac{5}{7}AD=2:5.$$

Ответ

$$2:5$$