Упр.831 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 831. На медиане BD треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ : MD = 3:2. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке Е. В каком отношении точка Е делит сторону ВС, считая от вершины В?

Пусть прямая $$AM$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Проведём через точку $$D$$ прямую $$DF$$, параллельную $$AE$$, где $$F \in BC$$.

Тогда в треугольнике $$DBF$$ по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$$\frac{BM}{MD}=\frac{BE}{EF}.$$

По условию $$BM:MD=3:2$$, значит

$$\frac{BE}{EF}=\frac{3}{2}.$$

Рассмотрим треугольники $$AEC$$ и $$DFC$$. Так как $$DF \parallel AE$$, то они подобны, а поскольку $$D$$ — середина $$AC$$, то

$$AD=DC,$$

следовательно,

$$\frac{EF}{CF}=\frac{AD}{DC}=1,$$

то есть

$$EF=CF.$$

Теперь на стороне $$BC$$ имеем:

$$CE=EF+CF=2EF.$$

Тогда

$$\frac{BE}{CE}=\frac{\frac{3}{2}EF}{2EF}=\frac{3}{4}.$$

Значит, точка $$E$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$3:4$$, считая от вершины $$B$$.

Ответ

$$3:4$$