Упр.830 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 830. Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали делят среднюю линию трапеции на три равные части.

Обозначим основания трапеции через $$BC$$ и $$AD$$. Пусть диагонали пересекают среднюю линию в точках $$M$$ и $$N$$, причём $$EM=MN=NF$$.

Так как $$EF$$ — средняя линия трапеции, то $$EF \parallel BC \parallel AD$$, а точки $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон, то есть $$AE=BE$$ и $$CF=DF$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точка $$E$$ — середина стороны $$AB$$, а прямая $$EM$$ параллельна основанию $$BC$$. Значит, $$M$$ — середина диагонали $$AC$$, и $$EM$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Тогда

$$BC=2EM.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Точка $$M$$ — середина стороны $$AC$$, а точка $$F$$ — середина стороны $$CD$$. Следовательно, $$MF$$ — средняя линия треугольника $$ACD$$, поэтому

$$AD=2MF.$$

Так как $$EM=MN=NF$$, то

$$MF=MN+NF=2EM.$$

Тогда

$$AD=2MF=2\cdot 2EM=4EM.$$

Следовательно, отношение оснований трапеции равно

$$BC:AD=2EM:4EM=1:2.$$

Ответ

$$1:2$$