Упр.828 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$, вписанного в окружность, перпендикулярны, угол $$ACB = 10^\circ$$, угол $$BDC = 70^\circ$$. Найдите углы данного четырёхугольника.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CED$$. Так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$, значит $$CE \perp DE$$ и $$\angle CED=90^\circ$$.

По условию $$\angle BDC=70^\circ$$, а луч $$DE$$ лежит на прямой $$BD$$, поэтому $$\angle CDE=70^\circ$$. Тогда

$$\angle DCE+\angle CDE=90^\circ,$$

$$\angle DCE+70^\circ=90^\circ,$$

$$\angle DCE=20^\circ.$$

2) Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, поэтому вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

$$\angle ADB=\angle ACB=10^\circ.$$

Тогда

$$\angle ADC=\angle ADB+\angle CDB=10^\circ+70^\circ=80^\circ.$$

В вписанном четырёхугольнике противоположные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle ABC=180^\circ-\angle ADC=180^\circ-80^\circ=100^\circ.$$

Кроме того, углы, опирающиеся на одну дугу $$CD$$, равны, поэтому

$$\angle BCD=\angle BCA+\angle DCA=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAD=180^\circ-\angle BCD=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Следовательно, углы четырёхугольника равны:

$$\angle A=150^\circ,\quad \angle B=100^\circ,\quad \angle C=30^\circ,\quad \angle D=80^\circ.$$

Ответ

$$150^\circ,\ 100^\circ,\ 30^\circ,\ 80^\circ$$