Упр.82 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Из вершины $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ опущен перпендикуляр $$BE$$ на диагональ $$AC$$. Через точку $$A$$ проведена прямая $$m$$, перпендикулярная прямой $$AD$$, а через точку $$C$$ — прямая $$n$$, перпендикулярная прямой $$CD$$. Докажите, что точка пересечения прямых $$m$$ и $$n$$ принадлежит прямой $$BE$$.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$BC \parallel AD$$ и $$AB \parallel CD$$.

Так как $$AF \perp AD$$, а $$BC \parallel AD$$, то $$AF \perp BC$$. Значит, $$AF$$ — высота треугольника $$ABC$$, проведённая из вершины $$A$$.

Аналогично, из $$CF \perp CD$$ и $$AB \parallel CD$$ следует, что $$CF \perp AB$$. Значит, $$CF$$ — высота треугольника $$ABC$$, проведённая из вершины $$C$$.

По условию $$AF \cap CF = F$$, то есть точка $$F$$ лежит на обеих высотах треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$F$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$.

В параллелограмме диагональ $$AC$$ делит его на два равных треугольника, поэтому треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны. Отсюда соответствующие высоты, проведённые к стороне $$AC$$, совпадают. Значит, высота $$BE$$ треугольника $$ABC$$ проходит через ту же точку пересечения высот, что и прямые $$AF$$ и $$CF$$.

Следовательно, точка $$F$$ принадлежит прямой $$BE$$.